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المحددات: أساسيات وطرق

Créé par

waleedAhmed
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Egypt

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المحددات في الرياضياتVersion en ligne

المحددات: أساسيات وطرق

par waleedAhmed
1

مقدمة عن المحددات

المحدد هو عدد يميز مصفوفة مربعة. يُرمز له بـ det(A) أو |A|. وجوده يحدد ما إذا كانت المصفوفة قابلة للعكس أم لا.

يُستخدم في حل أنظمة المعادلات وتثبيت التماثل في الجبر التطبيقي.

2

مصفوفة مربعة بسيطة

إذا كانت لدينا مصفوفة 2×2 مثل A = {{a,b},{c,d}}، فالمحدد det(A) = ad − bc.

قيمة det تؤثر في قابلية عكس المصفوفة وسلوك الحلول.

3

خاصية التبديل والحذف

تغيّر ترتيب الصفوف/الأعمدة يُغيّر إشارة المحدد. إذا تبادلت صفين، يتغيّر الإشارة. إذا أُضيف صف identical، يبقى det صفرًا.

4

طريقة كُلّ من التوسع

طريقة التوسع عبر صف أو عمود تستخدم قاعدة خاصة. تعتمد على ضَرْب عناصر من الصف/العمود بعوامل فرعية وتراكمها بطريقة محدودة.

5

حساب المحدد للمصفوفة 3×3

لـ A من الشكل 3×3، يمكن استخدام قاعدة سَفْل قاطع أو التوسّع عبر الصف الأول. مثال: det(A) = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg).

6

المحدد ووجود المعكوس

إذا det(A) ≠ 0، فالمصفوفة A لها معكوس A⁻¹. يمكن حسابه باستخدام مصفوفة المرافق وقيمة المحدد.

7

تطبيقات في أنظمة المعادلات

حل نظام بالطرائق المختلفة يعتمد على det. إذا det(C) ≠ 0، يوجد حل فريد. يمكن استخدام قانون كيل في بعض الحالات.

8

قواعد مهمة

1) det(kA) = kⁿ det(A) للمصفوفة n×n. 2) det(Aᵀ) = det(A). 3) det(AB) = det(A)det(B).

9

أمثلة تطبيقية

مثال 1: det([[2,3],[1,4]]) = 2×4 − 3×1 = 5. مثال 2: det([[0,1],[2,3]]) = −2. القيمة تُمهد لاستخلاص العكس.

10

تمارين مختارة

حاول: احسب det([[4,2,0],[1,3,5],[0,6,1]]). هل يمكن وجود معكوس؟ ما القيمة؟
 
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