LIMITE ET CONTINUITE D’UNE FONCTION (1ere C Mathematique 1)

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LIMITE ET CONTINUITE D’UNE FONCTION (1ere C Mathematique 1)Version en ligne Testez votre maîtrise des notions de continuité en analyse réelle. par YAKILI LMS 1 La limite en un point peut exister même si la fonction n’est pas définie en ce point. Yes No 2 Le prolongement par continuité en un point consiste à définir f(x0) = lim_{x→x0} f(x) lorsque la limite existe. Yes No 3 La fonction f(x) = \|x\| est continue sur R. Yes No 4 La continuité implique que la fonction est dérivable. Yes No 5 La continuité est locale: si f est continue en chaque point de E alors f est continue sur E. Yes No 6 La continuité en x0 implique nécessairement l’existence d’une dérivée en x0. Yes No 7 Une fonction est continue sur un ensemble E si elle est continue en un seul point de E. Yes No 8 La valeur de la fonction en un point n’influence jamais la continuité en ce point. Yes No 9 Une fonction continue sur tout domaine est nécessairement uniforme sur tout R. Yes No 10 Si f est continue en x0, alors lim_{x→x0} f(x) = f(x0+). Yes No 11 Pour une fonction rationnelle, la continuité est assurée même en des points où le dénominateur s’annule. Yes No 12 La composition f∘g est continue sur E même si g n’est pas continue en E. Yes No 13 Une fonction est continue en x0 si lim_{x→x0} f(x) = f(x0). Yes No 14 Une fonction définie par morceaux peut être continue sur l’ensemble de son domaine si les valeurs à la jonction coïncident avec les limites. Yes No 15 Si lim_{x→x0} f(x) existe et est égal à L, alors f est continue en x0 si f(x0) = L. Yes No 16 Si f est continue en x0 sur un voisinage de x0, alors f est continue en x0. Yes No 17 La prolongation par continuité peut être réalisée sans condition sur la limite. Yes No 18 Si f est continue sur E et g est continue sur f(E), alors g∘f est continue sur E. Yes No 19 Pour qu’une fonction f soit continue en x0, il suffit que lim sup et lim inf des f(x) quand x→x0 soient égaux à f(x0). Yes No 20 La limite en x0 suffit pour conclure à la continuité même si f(x0) n’est pas défini. Yes No 21 Une fonction bornée et continue sur [a,b] est uniformément continue sur [a,b]. Yes No 22 La limite en ±∞ n’est pas nécessaire pour la continuité locale. Yes No 23 Si f est continue sur R et g est continue sur R, alors f(g(x)) est toujours continue sur R. Yes No 24 Si f et g sont continues sur E, alors f+g et f·g sont continues sur E. Yes No 25 Une fonction polynomiale est continue sur tout R. Yes No 26 La continuité est équivalente à la convergence uniforme d’une suite de fonctions. Yes No 27 Si f est constante, alors elle est continue sur tout domaine de définition. Yes No 28 La continuité locale garantit la continuité globale sur tout intervalle. Yes No 29 L’extension par continuité peut être utilisée pour définir f en un point où la fonction n’est pas initialement définie. Yes No 30 La fonction f(x) = 1/x n’est pas continue en 0. Yes No 31 Si f est continue sur [a,b], alors f atteint des valeurs extrêmes sur cet intervalle (théorème de Weierstrass). Yes No 32 Une fonction continue est bornée sur un intervalle fermé et borné. Yes No 33 La fonction f(x) = sin x est continue sur R. Yes No 34 Tout polynôme est continue sur R et ne présente jamais de discontinuités. Yes No 35 La continuité est préservée par les additions et multiplications de fonctions continues. Yes No 36 Si f est continue en x0, alors f est dérivable en x0. Yes No 37 Une fonction peut être continue en x0 même si la limite à droite et à gauche diffère. Yes No 38 Si f est dérivable en x0, alors f est continue en x0. Yes No 39 La continuité sur un ensemble E signifie que f est continue en chaque point de E. Yes No 40 Toute fonction rationnelle est continue sauf aux points où le dénominateur s’annule. Yes No 41 La continuité peut être testée par la définition ε-δ. Yes No 42 Une fonction qui oscille fortement peut être continue en tout point. Yes No 43 Une fonction continue sur un ensemble ouvert est continue sur tout point de l’ensemble par restriction. Yes No 44 La continuité d’une fonction locale ne dépend pas des valeurs hors du voisinage. Yes No 45 La composition de fonctions continues peut échouer à être continue si les domaines ne correspondent pas. Yes No 46 Tout fonction continue est bornée sur ℝ. Yes No 47 La somme de deux fonctions continues est continue sur l'ensemble de définition. Yes No 48 La composition de deux fonctions continues n'est pas nécessairement continue. Yes No 49 Le produit de deux fonctions continues sur ℝ peut être non continue. Yes No 50 Le produit de deux fonctions continues est continue sur son domaine. Yes No

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LIMITE ET CONTINUITE D’UNE FONCTION (1ere C Mathematique 1)Version en ligne

par YAKILI LMS

La limite en un point peut exister même si la fonction n’est pas définie en ce point.

Le prolongement par continuité en un point consiste à définir f(x0) = lim_{x→x0} f(x) lorsque la limite existe.

La fonction f(x) = |x| est continue sur R.

La continuité implique que la fonction est dérivable.

La continuité est locale: si f est continue en chaque point de E alors f est continue sur E.

La continuité en x0 implique nécessairement l’existence d’une dérivée en x0.

Une fonction est continue sur un ensemble E si elle est continue en un seul point de E.

La valeur de la fonction en un point n’influence jamais la continuité en ce point.

Une fonction continue sur tout domaine est nécessairement uniforme sur tout R.

Si f est continue en x0, alors lim_{x→x0} f(x) = f(x0+).

Pour une fonction rationnelle, la continuité est assurée même en des points où le dénominateur s’annule.

La composition f∘g est continue sur E même si g n’est pas continue en E.

Une fonction est continue en x0 si lim_{x→x0} f(x) = f(x0).

Une fonction définie par morceaux peut être continue sur l’ensemble de son domaine si les valeurs à la jonction coïncident avec les limites.

Si lim_{x→x0} f(x) existe et est égal à L, alors f est continue en x0 si f(x0) = L.

Si f est continue en x0 sur un voisinage de x0, alors f est continue en x0.

La prolongation par continuité peut être réalisée sans condition sur la limite.

Si f est continue sur E et g est continue sur f(E), alors g∘f est continue sur E.

Pour qu’une fonction f soit continue en x0, il suffit que lim sup et lim inf des f(x) quand x→x0 soient égaux à f(x0).

La limite en x0 suffit pour conclure à la continuité même si f(x0) n’est pas défini.

Une fonction bornée et continue sur [a,b] est uniformément continue sur [a,b].

La limite en ±∞ n’est pas nécessaire pour la continuité locale.

Si f est continue sur R et g est continue sur R, alors f(g(x)) est toujours continue sur R.

Si f et g sont continues sur E, alors f+g et f·g sont continues sur E.

Une fonction polynomiale est continue sur tout R.

La continuité est équivalente à la convergence uniforme d’une suite de fonctions.

Si f est constante, alors elle est continue sur tout domaine de définition.

La continuité locale garantit la continuité globale sur tout intervalle.

L’extension par continuité peut être utilisée pour définir f en un point où la fonction n’est pas initialement définie.

La fonction f(x) = 1/x n’est pas continue en 0.

Si f est continue sur [a,b], alors f atteint des valeurs extrêmes sur cet intervalle (théorème de Weierstrass).

Une fonction continue est bornée sur un intervalle fermé et borné.

La fonction f(x) = sin x est continue sur R.

Tout polynôme est continue sur R et ne présente jamais de discontinuités.

La continuité est préservée par les additions et multiplications de fonctions continues.

Si f est continue en x0, alors f est dérivable en x0.

Une fonction peut être continue en x0 même si la limite à droite et à gauche diffère.

Si f est dérivable en x0, alors f est continue en x0.

La continuité sur un ensemble E signifie que f est continue en chaque point de E.

Toute fonction rationnelle est continue sauf aux points où le dénominateur s’annule.

La continuité peut être testée par la définition ε-δ.

Une fonction qui oscille fortement peut être continue en tout point.

Une fonction continue sur un ensemble ouvert est continue sur tout point de l’ensemble par restriction.

La continuité d’une fonction locale ne dépend pas des valeurs hors du voisinage.

La composition de fonctions continues peut échouer à être continue si les domaines ne correspondent pas.

Tout fonction continue est bornée sur ℝ.

La somme de deux fonctions continues est continue sur l'ensemble de définition.

La composition de deux fonctions continues n'est pas nécessairement continue.

Le produit de deux fonctions continues sur ℝ peut être non continue.

Le produit de deux fonctions continues est continue sur son domaine.