Interpolación polinómica (pasos a seguir)Version en ligne Ordena los pasos para hallar un polinomio que interpole a una función f(x) en el intervalo [S0,Sn] sobre el soporte S. par E 1 Polinomio interpolador (2º grado) mediante sistema de ecuaciones. Escribir fórmula general: P(x) = a0 + a1·x + a2·x^2 Resolver el sistema de ecuaciones obtenido, para sacar los coeficientes (a0, a1 y a2). Construir el polinomio --> reescribir la fórmula, sustituyendo los coeficientes sacados. Sustituir los puntos (del soporte) y sus respectivos valores de la función en la fórmula. 2 Polinomio interpolador (2º grado) mediante bases de Lagrange. Construir el polinomio --> sustituir bases y valores de la función en los puntos del soporte. Calcular bases de Lagrange (L0, L1 y L2) --> para ello emplear fórmula correspondiente. Escribir fórmula general: P(x) = f(S0)·L0 + f(S1)·L1 + f(S2)·L2 3 Polinomio interpolador (2º grado) mediante bases de Newton. Escribir fórmula general: P(x) = f[S0] + f[S0,S1] · (x-S0) + f[S0,S1,S2] · (x-S0) · (x-S1) Calcular las constantes de las diferencias divididas mediante fórmula o la tabla de dif. divididas. Construir el polinomio --> sustituir constantes y valores de los puntos del soporte en la fórmula. 4 Creación de polinomio interpolador (de grado k+1) a partir de un polinomio (de grado k) conocido y un punto nuevo dado dentro del soporte. Calcular constante "cte_k+1" mediante tabla de las dif. divididas (si existe, reusar tabla previa) Construir el polinomio --> sustituir polinomio "P_k (x)" dado, cte y base de Newton en la fórmula. NOTA: "no importa el orden de los puntos del soporte en la tabla" Escribir fórmula general: P_k+1 (x) = P_k (x) + cte_k+1 · N_k+1 (x) Elección del método adecuado para la resolución del problema = método de Newton. Calcular la base de Newton "N_k+1 (x)", mediante la fórmula: (x-S0) · (x-S1) · ... · (x-Sk) 5 CONCEPTOS CLAVE (ordenar concepto con definición) Técnica matemática para estimar valores desconocidos dentro de un rango de datos conocidos Determinar la expresión de un polinomio, de grado < ó = que n, tomando n + 1 valores prefijados. 4. Teorema de unicidad del polinomio interpolador. Conjunto de datos conocidos (puntos de abcisas). 3. Métodos para obtener un polinomio interpolador Los valores del soporte deben ser distintos entre sí, pero su orden no influye en el cálculo de P(x) Resolver sistema lineal de ecuaciones, usar fórmula de Lagrange ó usar fórmula de Newton. 5. ¿Qué es el soporte: S {S0,S1, ... , Sn} ? El polinomio se considera válido para todos aquellos valores incluidos dentro del soporte: [S0,Sn]. 8. ¿Cuál es la validez (aproximación buena) de un polinomio interpolador? 1. ¿Qué es la interpolación? Se obtiene el mismo polinomio, empleando cualquiera de los 3 métodos. 7. Propiedad de las diferencias divididas 6. Condiciones del soporte. El orden de las abscisas del soporte no influye en el valor de la cte: f[S0,S1,S2] = f[S1,S2,S0]. 2. Objetivo de la interpolación polinómica
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