Présentation: Los números enteros "Z"


Los números enteros "Z"Version en ligne En esta presentación encontraras un breve resumen de cada uno de los temas que se trabajan en relación con los números enteros al final un mapa conceptual. par diana f.m 1 Números Enteros LOS NÚMEROS ENTEROSDOCENTE : DIANA FRANCO M. 2 NÚMEROS SIGNADOS Y NÚMEROS RELATIVOS Los números signados son aquellos acompañados del signo + o del signo – para indicar ciertas situaciones. Los números relativos se utilizan para: •Expresar una situación o estado: deber, tener, temperatura, tiempo, altitud de un lugar •Expresar variaciones: subir-bajar, perder-ganar, avanzar-retroceder •Los números relativos pueden ser mayores que 0, menores que 0 o 0 3 NÚMERO ENTERO 4 Ejemplos Por ejemplo, los siguientes números son enteros: 3,−76,0,15,−22. Aunque puedan parecer un poco extraños, los números negativos se utilizan cada día. Ejemplo Por ejemplo, alguien sube en un ascensor en la planta cero. No obstante, no quiere ir hacia arriba, sino hacia abajo porque es donde está el parking. Entonces pulsa el botón de la planta −1, que es la que está justo debajo de la planta cero. Si hubiera pulsado el botón de la planta 1, hubiera ido a parar al primer piso, ¡y eso no es lo que quería!. 5 Representación de los números enteros en la recta Comparar números enteros y hallar la distancias entre ellos, representándolos en la recta numérica. Ya conocemos la recta numérica en la que se representan los números naturales ahora incluyendo el cero, vamos a representar los números negativos. 1. Dibujamos una recta. 2. Señalamos el origen O, que es el valor cero 0. 3. Dividimos la recta en segmentos iguales (unidades), a la derecha e izquierda del cero. 4. A la derecha del origen colocamos los números enteros positivos. 5. A la izquierda del origen colocamos los números enteros negativos. 6 PRACTIQUEMOS Contestan las preguntas siguientes; PUEDES HACER USO DE LA RECTA PARA APOYARTE: De los hitos históricos presentado ¿cuál es el más reciente? ¿y cuál el menos reciente? Considerando las fechas anteriores al nacimiento de Cristo ¿cuál sería la menos reciente? ¿qué lugar ocupa la aparición del Australopitecus? ¿Cuál es el orden de estos hechos históricos? Considerando las fechas posteriores al nacimiento de Cristo ¿cuál sería la menos reciente y el más reciente? ¿qué lugar ocupa la fecha en que se produjo la Revolución Francesa? ¿Cuál es el orden de estos hechos históricos? ¿Qué hecho representa el año cero? 2. Ordena la información en tablas y en rectas numéricas. Agrega otros números en la recta numérica y determina dónde se ubican. Observa los números ubicados en la recta y establece conclusiones en torno a las reglas generales del orden entre números con signo, respondiendo a las interrogantes : ¿Cómo se establece el orden entre dos números de signo positivo? ¿ Cómo se establece el orden entre un número positivo y otro negativo ¿Y entre dos números negativos? 7 PRACTIQUEMOS Contestan las preguntas siguientes; PUEDES HACER USO DE LA RECTA PARA APOYARTE: De los hitos históricos presentado ¿cuál es el más reciente? ¿y cuál el menos reciente? Considerando las fechas anteriores al nacimiento de Cristo ¿cuál sería la menos reciente? ¿qué lugar ocupa la aparición del Australopitecus? ¿Cuál es el orden de estos hechos históricos? Considerando las fechas posteriores al nacimiento de Cristo ¿cuál sería la menos reciente y el más reciente? ¿qué lugar ocupa la fecha en que se produjo la Revolución Francesa? ¿Cuál es el orden de estos hechos históricos? ¿Qué hecho representa el año cero? 2. Ordena la información en tablas y en rectas numéricas. Agrega otros números en la recta numérica y determina dónde se ubican. Observa los números ubicados en la recta y establece conclusiones en torno a las reglas generales del orden entre números con signo, respondiendo a las interrogantes : ¿Cómo se establece el orden entre dos números de signo positivo? ¿ Cómo se establece el orden entre un número positivo y otro negativo ¿Y entre dos números negativos? 8 ORDEN Y COMPARACIÓN DE LOS NÚMEROS ENTEROS 1.¿cual es la distancia entre el buzo Y el nivel del mar? 2.¿Cuál es la distancia entre la red y el nivel del mar? 3. ¿ El buzo esta a menor o mayor Distancia que la red del nivel del mar? 4. ¿Qué número es mayor -3 o -1?.Justifica tu respuesta 9 Valor Absoluto Por ejemplo el valor absoluto de -6 es 6; y se escribe l-6l = 6 10 Adición y sustracción de números enteros Vamos a considerar tres casos: a) Si todos los números son positivos se suman y el resultado es positivo: 3 + 4 + 8 = 15 b) Si todos los números son negativos se suman y el resultado es negativo:(-3) + (-4) + (-8) = -15 c) Si se suman números positivos y negativos, los positivos suman y los negativos restan: 3 + (-4) + 5 + (-7) Las flechas marcan el sentido correspondiente a las cantidades que se mencionan. Numéricamente, la operación realizada se representa así: 5 + (-8) = -3 Esta es una adición de números enteros. 11 Resta de números enteros Resta de Enteros Definición: Restar un número es igual que sumar su opuesto. a – b = a + -b El opuesto de b es -b Ejemplo: 3 – 4 = 3 + -4 El opuesto de 4 es -4 + + + - - - - = -1 0 0 0 En la resta, se cambia a suma y se escribe el opuesto del número que se está reatando, entonces se siguen las reglas de la suma. -2 - 5 = -2 + -5 El opuesto de 5 es –5 - - - - - - - = -7 5 - ( -7) = 5 + 7 = 12 El opuesto de –7 es 7 12 ELIMINACIÓN DE SIGNOS DE AGRUPACIÓN REGLA GENERAL PARA SUPRIMIR SIGNOS DE AGRUPACIÓN: ( ) paréntesis [ ] Corchetes { } llaves Los signos de agrupación se pueden suprimir cuando se están sumando o restando, por lo tanto tienen el signo + o – antes del signo de agrupación, y se usan las siguientes reglas: 1.- Para suprimir signos de agrupación precedidos del signo + se deja con el mismo signo a cada uno de las cantidades que están dentro de él. Ejemplo: 8 + (3 + 4 – 2) = 8 + 3 + 4 – 2= 13 2.- Para suprimir signos de agrupación precedidos del signo – se cambia el signo a cada una de las cantidades que se hallan dentro de él. Ejemplo: 15 - (9 + 3 – 7) = 15 - 9 - 3 + 7=10 13 ORDENADO ES MEJOR Cuando hay varias operaciones con signos de agrupación, se deben resolver en el siguiente orden: 1. Efectuar las operaciones que están dentro de los paréntesis, corchetes y llaves, comenzando por los más internos. 2. Calcular las potencias y las raíces, están al mismo nivel. 3. Efectuar productos y cocientes, están al mismo nivel. 4. Finalmente realizar sumas y restas Sumas y diferencias. 9 − 7 + 15 + 20 − 3 + 8 − 4 = Comenzando por la izquierda, vamos efectuando las operaciones según aparecen. = 9 − 7 + 15 + 20 − 3 + 8 − 4 = 38 Con paréntesis (15 − 4) + 3 − (12 − 5 · 2) + (5 + 16 / 4) −5 + (10 − 23)= Realizamos en primero las operaciones dentro de los paréntesis. = (15 − 4) + 3 − (12 − 10) + (5 + 4) − 5 + (10 − 8) Quitamos paréntesis al realizar las operaciones y llegar al resultado. = 11 + 3 − 2 + 9 − 5 + 2 Finalmente las smas y las restas = 11 + 3 − 2 + 9 − 5 + 2 = 18 14 PROPIEDADES DE LA ADICIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Clausurativa: (-7) + (-12) = -19 La suma obtenida al adicionar números (+47) + (-18) = +29 enteros es un número entero. Conmutativa: (-67) + (+89) = +22 En toda adición el orden de los sumandos (+89) + (-67) = +22 no altera la suma. Asociativa: (-14) + (+24) + (-5) = Al asociar dos o mas sumandos de una (-14 + 24) -5 = -14 + (+24 -5) adición, en distinto orden, la suma no se (+10) -5 = -14 + (+19) altera. +5 = +5 15 PROPIEDADES DE LA ADICIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Modulativa: 0 + (-41) = (-41) La adición de un número entero con cero (+27) + 0 = (+27) da como resultado el mismo número entero. Propiedad del Opuesto aditivo: (+6) + (-6) = 0 Todo número entero adicionado con su (+104) + (-104) = 0 opuesto aditivo da como resultado cero. 16 PRACTICO LO APRENDIDO a.(-5 +2-(8-3)+(2+7-5)+5-7+12) b. -(8+3-(2+5-12+15)+8+2-13) c. 5+(12-45+12-(3+7+2)) d.-24 –(12-4+2-(15-4+8)+27) 17 REPRESENTACIÓN DE PUNTOS EN EL PLANO CARTESIANO: Un plano cartesiano se encuentra formado por la intersección de dos rectas numéricas que se cortan perpendicularmente en cero. En el plano cartesiano se reconocen los siguientes elementos: la recta horizontal denominada eje X y la recta vertical eje Y, el punto de intersección se llama origen; las cuatro regiones se denominan cuadrantes y se representan con los números romanos. En el plano cartesiano cada punto está determinado por una pareja ordenada de números ej: (4,3) En toda pareja ordenada (a,b) se distinguen dos coordenadas a, localiza al eje de las X y b, al eje de las Y; para representar primero se ubica el eje de las X luego el eje de las Y y se traza una línea imaginaria entre los dos puntos 18 Ejemplos 19 SITUACIONES PROBLEMA DE ADICIÓN DE NÚMEROS ENTEROS 1.Un viajero tiene un crédito de $50000, para todo el viaje, el transporte le costará $27400, el hospedaje le costará $10510. ¿Cuánto le sobra el viajero para los demás gastos? 2.El señor Moreno compró dos periódicos, uno de $900 y otro de $1100, y una revista de $350, pagó con un billete de $100000. ¿Cuánto le devolvieron de cambio? 3.En una cuenta bancaria se hace un depósito de 23000 pesos, la siguiente semana se efectúa un retiro de 12450, en dos días después se depositan 2500 más, y un día después se retiran 1589 pesos. ¿Cuánto se tiene en la cuenta bancaria? 20 MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Ejemplo: -2•3= Ahora tú (recuerda si el resultado es positivo, no pones el signo) 3•( -2)=-6 -4•(-5)=20 5•(-1)= +6) x (+8) = + 48 (-7) x (-3) = + 21 (+9) x (-5) = - 45 (-6) x (+30) = - 180 Si multiplicamos más de dos enteros, vamos multiplicando los números al resultado de los dos primeros, lo multiplicamos por el tercero, este resultado por el cuarto, y así sucesivamente hasta acabar con el último. Para el signo podemos seguir la siguiente regla: Si hay un número par de números negativos, dará + 21 DIVISIONES DE NÚMEROS ENTEROS Para dividir números enteros, dividimos los signos y dividimos los números. Para dividir los signos aplicamos la regla de los signos: +:+=+ -:-=+ +:-=- -:+=- Ejemplo: -4:2=-2 -9:(-3)=3 12:(-4)= -14:(-2)= 22 MAPA CONCEPTUAL

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Números Enteros

LOS NÚMEROS ENTEROSDOCENTE : DIANA FRANCO M.

2

NÚMEROS SIGNADOS Y NÚMEROS RELATIVOS

Los números signados son aquellos acompañados del signo + o del signo – para indicar ciertas situaciones.

Los números relativos se utilizan para:

•Expresar una situación o estado: deber, tener, temperatura, tiempo, altitud de un lugar •Expresar variaciones: subir-bajar, perder-ganar, avanzar-retroceder •Los números relativos pueden ser mayores que 0, menores que 0 o 0

3

NÚMERO ENTERO

4

Ejemplos

Por ejemplo, los siguientes números son enteros: 3,−76,0,15,−22.

Aunque puedan parecer un poco extraños, los números negativos se utilizan cada día.

Ejemplo

Por ejemplo, alguien sube en un ascensor en la planta cero. No obstante, no quiere ir hacia arriba, sino hacia abajo porque es donde está el parking. Entonces pulsa el botón de la planta −1, que es la que está justo debajo de la planta cero. Si hubiera pulsado el botón de la planta 1, hubiera ido a parar al primer piso, ¡y eso no es lo que quería!.

5

Representación de los números enteros en la recta

Comparar números enteros y hallar la distancias entre ellos, representándolos en la recta numérica. Ya conocemos la recta numérica en la que se representan los números naturales ahora incluyendo el cero, vamos a representar los números negativos.

1. Dibujamos una recta.

2. Señalamos el origen O, que es el valor cero 0.

3. Dividimos la recta en segmentos iguales (unidades), a la derecha e izquierda del cero.

4. A la derecha del origen colocamos los números enteros positivos.

5. A la izquierda del origen colocamos los números enteros negativos.

6

PRACTIQUEMOS

Contestan las preguntas siguientes; PUEDES HACER USO DE LA RECTA PARA APOYARTE:

De los hitos históricos presentado ¿cuál es el más reciente? ¿y cuál el menos reciente?

Considerando las fechas anteriores al nacimiento de Cristo ¿cuál sería la menos reciente? ¿qué lugar ocupa la aparición del Australopitecus? ¿Cuál es el orden de estos hechos históricos?

Considerando las fechas posteriores al nacimiento de Cristo ¿cuál sería la menos reciente y el más reciente? ¿qué lugar ocupa la fecha en que se produjo la Revolución Francesa? ¿Cuál es el orden de estos hechos históricos?

¿Qué hecho representa el año cero?

2. Ordena la información en tablas y en rectas numéricas. Agrega otros números en la recta numérica y determina dónde se ubican.

Observa los números ubicados en la recta y establece conclusiones en torno a las reglas generales del orden entre números con signo, respondiendo a las interrogantes :

¿Cómo se establece el orden entre dos números de signo positivo?

¿ Cómo se establece el orden entre un número positivo y otro negativo

¿Y entre dos números negativos?

7

PRACTIQUEMOS

Contestan las preguntas siguientes; PUEDES HACER USO DE LA RECTA PARA APOYARTE:

De los hitos históricos presentado ¿cuál es el más reciente? ¿y cuál el menos reciente?

Considerando las fechas anteriores al nacimiento de Cristo ¿cuál sería la menos reciente? ¿qué lugar ocupa la aparición del Australopitecus? ¿Cuál es el orden de estos hechos históricos?

Considerando las fechas posteriores al nacimiento de Cristo ¿cuál sería la menos reciente y el más reciente? ¿qué lugar ocupa la fecha en que se produjo la Revolución Francesa? ¿Cuál es el orden de estos hechos históricos?

¿Qué hecho representa el año cero?

2. Ordena la información en tablas y en rectas numéricas. Agrega otros números en la recta numérica y determina dónde se ubican.

Observa los números ubicados en la recta y establece conclusiones en torno a las reglas generales del orden entre números con signo, respondiendo a las interrogantes :

¿Cómo se establece el orden entre dos números de signo positivo?

¿ Cómo se establece el orden entre un número positivo y otro negativo

¿Y entre dos números negativos?

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ORDEN Y COMPARACIÓN DE LOS NÚMEROS ENTEROS

1.¿cual es la distancia entre el buzo Y el nivel del mar?

2.¿Cuál es la distancia entre la red y el nivel del mar?

3. ¿ El buzo esta a menor o mayor

Distancia que la red del nivel del mar?

4. ¿Qué número es mayor -3 o -1?.Justifica tu respuesta

9

Valor Absoluto

Por ejemplo el valor absoluto de -6 es 6; y se escribe l-6l = 6

10

Adición y sustracción de números enteros

Vamos a considerar tres casos:

a) Si todos los números son positivos se suman y el resultado es positivo: 3 + 4 + 8 = 15

b) Si todos los números son negativos se suman y el resultado es negativo:(-3) + (-4) + (-8) = -15

c) Si se suman números positivos y negativos, los positivos suman y los negativos restan: 3 + (-4) + 5 + (-7)

Las flechas marcan el sentido correspondiente a las cantidades que se mencionan.

Numéricamente, la operación realizada se representa así:

5 + (-8) = -3

Esta es una adición de números enteros.

11

Resta de números enteros

Resta de Enteros

Definición: Restar un número es igual que sumar su opuesto.

a – b = a + -b El opuesto de b es -b

Ejemplo:

3 – 4 = 3 + -4 El opuesto de 4 es -4 + + + - - - - = -1 0 0 0

En la resta, se cambia a suma y se escribe el opuesto del número que se está reatando, entonces se siguen las reglas de la suma.

-2 - 5 = -2 + -5 El opuesto de 5 es –5 - - - - - - - = -7

5 - ( -7) = 5 + 7 = 12 El opuesto de –7 es 7

12

ELIMINACIÓN DE SIGNOS DE AGRUPACIÓN

REGLA GENERAL PARA SUPRIMIR SIGNOS DE AGRUPACIÓN:

( ) paréntesis

[ ] Corchetes { } llaves Los signos de agrupación se pueden suprimir cuando se están sumando o restando, por lo tanto tienen el signo + o – antes del signo de agrupación, y se usan las siguientes reglas: 1.- Para suprimir signos de agrupación precedidos del signo + se deja con el mismo signo a cada uno de las cantidades que están dentro de él. Ejemplo: 8 + (3 + 4 – 2) = 8 + 3 + 4 – 2= 13 2.- Para suprimir signos de agrupación precedidos del signo – se cambia el signo a cada una de las cantidades que se hallan dentro de él. Ejemplo: 15 - (9 + 3 – 7) = 15 - 9 - 3 + 7=10

13

ORDENADO ES MEJOR

Cuando hay varias operaciones con signos de agrupación, se deben resolver en el siguiente orden:

1. Efectuar las operaciones que están dentro de los paréntesis, corchetes y llaves, comenzando por los más internos.

2. Calcular las potencias y las raíces, están al mismo nivel.

3. Efectuar productos y cocientes, están al mismo nivel.

4. Finalmente realizar sumas y restas

Sumas y diferencias.

9 − 7 + 15 + 20 − 3 + 8 − 4 =

Comenzando por la izquierda, vamos efectuando las operaciones según aparecen.

= 9 − 7 + 15 + 20 − 3 + 8 − 4 = 38

Con paréntesis

(15 − 4) + 3 − (12 − 5 · 2) + (5 + 16 / 4) −5 + (10 − 23)=

Realizamos en primero las operaciones dentro de los paréntesis.

= (15 − 4) + 3 − (12 − 10) + (5 + 4) − 5 + (10 − 8)

Quitamos paréntesis al realizar las operaciones y llegar al resultado.

= 11 + 3 − 2 + 9 − 5 + 2

Finalmente las smas y las restas

= 11 + 3 − 2 + 9 − 5 + 2

= 18

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PROPIEDADES DE LA ADICIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Clausurativa: (-7) + (-12) = -19 La suma obtenida al adicionar números

(+47) + (-18) = +29 enteros es un número entero.

Conmutativa: (-67) + (+89) = +22 En toda adición el orden de los sumandos

(+89) + (-67) = +22 no altera la suma.

Asociativa: (-14) + (+24) + (-5) = Al asociar dos o mas sumandos de una

(-14 + 24) -5 = -14 + (+24 -5) adición, en distinto orden, la suma no se

(+10) -5 = -14 + (+19) altera.

+5 = +5

15

PROPIEDADES DE LA ADICIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Modulativa: 0 + (-41) = (-41) La adición de un número entero con cero

(+27) + 0 = (+27) da como resultado el mismo número entero.

Propiedad del

Opuesto aditivo: (+6) + (-6) = 0 Todo número entero adicionado con su

(+104) + (-104) = 0 opuesto aditivo da como resultado cero.

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PRACTICO LO APRENDIDO

a.(-5 +2-(8-3)+(2+7-5)+5-7+12) b. -(8+3-(2+5-12+15)+8+2-13) c. 5+(12-45+12-(3+7+2)) d.-24 –(12-4+2-(15-4+8)+27)

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REPRESENTACIÓN DE PUNTOS EN EL PLANO CARTESIANO:

Un plano cartesiano se encuentra formado por la intersección de dos rectas numéricas que se cortan perpendicularmente en cero.

En el plano cartesiano se reconocen los siguientes elementos: la recta horizontal denominada eje X y la recta vertical eje Y, el punto de intersección se llama origen; las cuatro regiones se denominan cuadrantes y se representan con los números romanos.

En el plano cartesiano cada punto está determinado por una pareja ordenada de números ej: (4,3)

En toda pareja ordenada (a,b) se distinguen dos coordenadas a, localiza al eje de las X y b, al eje de las Y; para representar primero se ubica el eje de las X luego el eje de las Y y se traza una línea imaginaria entre los dos puntos

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Ejemplos

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SITUACIONES PROBLEMA DE ADICIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

1.Un viajero tiene un crédito de $50000, para todo el viaje, el transporte le costará $27400, el hospedaje le costará $10510. ¿Cuánto le sobra el viajero para los demás gastos? 2.El señor Moreno compró dos periódicos, uno de $900 y otro de $1100, y una revista de $350, pagó con un billete de $100000. ¿Cuánto le devolvieron de cambio? 3.En una cuenta bancaria se hace un depósito de 23000 pesos, la siguiente semana se efectúa un retiro de 12450, en dos días después se depositan 2500 más, y un día después se retiran 1589 pesos. ¿Cuánto se tiene en la cuenta bancaria?

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MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Ejemplo:

-2•3=

Ahora tú (recuerda si el resultado es positivo, no pones el signo)

3•( -2)=-6 -4•(-5)=20

5•(-1)=

+6) x (+8) = + 48

(-7) x (-3) = + 21

(+9) x (-5) = - 45

(-6) x (+30) = - 180

Si multiplicamos más de dos enteros, vamos multiplicando los números al resultado de los dos primeros, lo multiplicamos por el tercero, este resultado por el cuarto, y así sucesivamente hasta acabar con el último.

Para el signo podemos seguir la siguiente regla:

Si hay un número par de números negativos, dará +

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DIVISIONES DE NÚMEROS ENTEROS

Para dividir números enteros, dividimos los signos

y dividimos los números. Para dividir los signos

aplicamos la regla de los signos:

+:+=+ -:-=+

+:-=- -:+=-

Ejemplo:

-4:2=-2 -9:(-3)=3

12:(-4)=

-14:(-2)=

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Ejemplos

Representación de los números enteros en la recta

PRACTIQUEMOS

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ORDEN Y COMPARACIÓN DE LOS NÚMEROS ENTEROS

Valor Absoluto

Adición y sustracción de números enteros

Resta de números enteros

ELIMINACIÓN DE SIGNOS DE AGRUPACIÓN

ORDENADO ES MEJOR

PROPIEDADES DE LA ADICIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

PROPIEDADES DE LA ADICIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

PRACTICO LO APRENDIDO

REPRESENTACIÓN DE PUNTOS EN EL PLANO CARTESIANO:

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MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

DIVISIONES DE NÚMEROS ENTEROS

MAPA CONCEPTUAL