Una
curva
C
es
simple
si
admite
una
parametrización
Una
curva
C
es
cerrada
si
admite
una
parametrización
Una
curva
C
es
regular
si
alfa
es
y
0
Recta
tangente
:
alfa
debe
ser
y
en
t0
es
(
)
+
(
)
(
-
)
Alfa
C1
,
su
Longitud
de
arco
es
:
Integral
entre
de
Una
parametrización
es
por
longitud
de
arco
si
es
y
alfa
es
Alfa
:
T
=
/
N
=
/
B
=
&
B'
=
N
f
:
U
C
a
campo
escalar
continuo
y
C
una
curva
contenida
en
U
,
alfa
[
a
,
b
]
a
U
de
clase
C1
e
en
[
a
,
b
)
C
?
fds
=
?
(
(
)
x
)
F
:
U
C
a
continua
,
alfa
[
a
,
b
]
a
Rn
de
clase
C1
e
,
alfa
con
a
la
de
C
C
?
Fds
=
?
[
(
)
)
,
]
d
t
Sea
F
:
U
C
a
continuo
F
es
de
si
existe
f
:
U
C
Rn
a
R
tal
que
=
f
se
llama
U
y
,
F
:
U
C
Rn
a
Rn
continuo
1
)
es
de
2
)
Integral
de
linea
en
es
3
)
F
:
U
C
a
campo
vectorial
C1
,
F
=
(
P
,
,
)
rotor
(
F
)
=
(
-
,
-
,
-
)
Si
rotor
(
F
)
=
0
,
F
es
F
:
U
C
a
,
C1
,
F
=
(
P
,
Q
,
R
)
div
(
F
)
=
+
Qy
+
si
div
(
F
)
=
0
,
F
es
(
(
F
)
)
=
0
si
F
es
F
:
U
C
a
U
simplemente
F
es
de
si
y
solo
si
es
Cilindro
:
J
:
[
,
2pi
]
x
[
,
]
a
R3
J
(
u
,
v
)
=
(
cosu
,
,
)
Esfera
:
J
:
[
,
]
x
[
,
]
a
R3
J
(
u
,
v
)
=
(
,
,
)
Cono
positivo
:
J
:
C
a
R3
J
(
u
,
v
)
=
(
,
,
+
)
donde
D
=
(
(
u
,
v
)
e
R2
:
+
?
)
Paraboloide
:
J
:
a
R3
J
(
u
,
v
)
=
(
,
,
+
)
Area
(
J
)
=
D
?
?
&
dud
v
Sea
J
:
D
C
a
parametrización
de
S
,
J
de
clase
y
f
:
G
C
a
continua
tal
que
G
C
S
Definimos
la
integral
de
f
sobre
J
:
J
?
?
fds
=
D
?
?
(
(
,
)
)
&
dud
v
Sea
J
:
D
C
a
de
clase
,
F
:
G
C
a
continuo
tal
que
G
C
S
Definimos
la
integral
del
campo
vectorial
sobre
F
sobre
J
:
J
?
?
Fds
=
J
?
?
[
,
]
ds
Donde
es
&
/
&
N
Teorema
de
Green
:
Sea
C
C
una
curva
,
,
a
,
según
Sea
D
C
la
acotada
tal
que
=
C
Sea
F
:
G
C
a
de
clase
tal
que
G
C
D
U
BD
C
?
Fds
=
D
?
?
-
dxdy
Teorema
de
Stokes
:
Sea
S
C
R3
superficie
,
regular
,
con
borde
tal
que
BS
es
una
a
y
Considero
S
y
BS
orientadas
compatiblemente
Sea
F
:
G
C
a
R3
de
clase
tal
que
S
U
BS
C
G
BS
?
Fds
=
S
?
?
(
)
d
s
Teorema
de
Gauss
:
Sea
V
un
limitado
por
una
superficie
S
con
orientación
dada
por
la
n
a
S
Si
X
es
un
campo
vectorial
de
clase
es
un
que
contiene
a
V
U
S
entonces
tenemos
:
V
?
?
?
(
)
dV
=
S
?
?
dS
|